Monday, 27 November 2017

Mitarbeiter Aktie Optionen Schwarz Scholes Modell


ESOs: Einsatz des Binomialmodells Am 1. April 2004 veröffentlichte das Financial Accounting Standards Board (FASB) einen Vorschlag zur neuen Bilanzierung von Mitarbeiteraktienoptionen ESOs. Die endgültigen Regeln werden voraussichtlich im Herbst 2004 veröffentlicht werden. Aber die endgültigen Regeln werden höchstwahrscheinlich dem Vorschlag ähneln: Der FASB hat - offensichtlich zu seiner eigenen Zufriedenheit - die sichtbarste und offensichtlichste Kritik am Vorschlag, die Aktienoptionen aufzuwenden, zurückgewiesen. Derzeit nutzen die meisten Unternehmen das Black-Scholes-Optionspreismodell zum Preis ihrer ESOs. Die neuen Regeln ermutigen jedoch - aber nicht verlangen - Unternehmen, das Binomialmodell zu nutzen. Wir können daher erwarten, dass sich die Unternehmen im nächsten Jahresbericht auf das Binomial umstellen. In diesem Abschnitt erklären wir die Idee hinter dem Binomialmodell. Der Binomial baut einen Baum der künftigen Aktienkurse Der Black-Scholes ist ein geschlossenes Modell, das bedeutet, dass es einen Optionspreis aus einer Gleichung löst oder ableitet. Im Gegensatz dazu ist das Binomial ein offenes oder Gittermodell. Es schafft einen Baum möglicher zukünftiger Aktienkursbewegungen und induziert den Optionspreis. Beginnen wir mit einem einstufigen Binomial. Angenommen, wir gewähren eine Option auf 10 Aktien, die in einem Jahr verfallen werden. Wir nehmen auch an, dass es eine Wahrscheinlichkeit von 50 gibt, dass der Preis 12 über dem Jahr springen wird und eine Wahrscheinlichkeit 50, daß der Vorrat 12 fallen läßt. Es gibt drei grundlegende Berechnungen. Zuerst planen wir die beiden möglichen künftigen Aktienkurse. Zweitens übersetzen wir die Aktienkurse in zukünftige Optionswerte: am Ende des Jahres wird diese Option entweder 1,20 oder gar nichts wert sein. Drittens reduzieren wir die zukünftigen Werte auf einen Barwert. In diesem Fall die 1,20 Diskonte auf 1,14, weil wir eine 5 risikofreie Rate annehmen. Nachdem wir jedes mögliche Resultat durch 50 gewichtet haben, sagt das einstufige Binomial, daß unsere Wahl 0.57 an der Bewilligung wert ist. Ein vollwertiges Binomial verlängert einfach dieses einstufige Modell in eine zufällige Wanderung von vielen Schritten (oder Intervallen). Als solche, die Berechnung der Binomiale beinhaltet die gleichen drei grundlegenden Aktionen. Zuerst wird der Baum der möglichen zukünftigen Aktienkurse aufgebaut, und die Volatilitätseingabe bestimmt die Größe jedes Aufwärts - oder Abwärtssprunges. Zweitens werden die zukünftigen Aktienkurse in jedem Intervall auf dem Baum in Optionswerte umgerechnet. Drittens werden diese zukünftigen Optionswerte auf einen einzigen Barwert zurückgerechnet. Dieser dritte Schritt wird Rückwärtsinduktion genannt. Die Rückwärtsinduktion beginnt einfach mit den endgültigen Optionen-Werten und arbeitet rückwärts durch eine Reihe von einstufigen Mini-Modellen. Zum Beispiel ist der Optionswert für Su4 oben (der nächstletzte Wert am oberen Rand des Baums) nur eine gewichtete Mischung der beiden Endknoten, die danach kommen. Und Su3 wird zu einer gewichteten Mischung aus Su4 und Su2, und so weiter, bis das Modell zu einem einzigen Optionswert konvergiert - in Gegenwartsbedingungen - an der Vorderseite des Baums. Der Binomialbaum Werte ein American-Style Option mit Flexibilität Ein großer Vorteil des Binomial ist, dass es eine amerikanische Option-Option. Die vor dem Ende ihrer Laufzeit ausgeübt werden können, und es ist der Stil der Option ESOs in der Regel. Das Modell erreicht diese Bewertungskapazität durch Vergleich des berechneten Werts an jedem Knoten (wie oben) mit dem intrinsischen Wert an diesem Knoten. In den wenigen Fällen, in denen der intrinsische Wert größer ist, geht das Modell davon aus, dass die Option den intrinsischen Wert am Knoten wert ist. Dies hat insgesamt den Effekt, dass der Wert der amerikanischen Option gegenüber einer Option im europäischen Stil erhöht wird. Da einige der Knoten erhöht werden. Sie können sehen, dass das Binomial ein brute-force Modell ist, das mit fast unbegrenzter Flexibilität konstruiert werden kann. Das FASB bevorzugt das Binomialmodell, da es die einzigartigen Eigenschaften eines ESOs aufbauen kann. Betrachten Sie zwei wichtige Merkmale, die der FASB Unternehmen empfiehlt, in das binomische Modell zu investieren: Ausübungsbeschränkungen und frühzeitige Ausübung. Der Binomialbaum oben ist derselbe wie vorher, mit Ausnahme von zwei Unterschieden. Erstens, weil die Option in den frühen Jahren unbewilligt ist, wird das Modell in diesen Jahren keine frühen Übungen annehmen (was getan werden würde, um hohe intrinsische Werte in den aufwärts gerichteten Sprungwegen zu lösen). Zweitens - und das ist ein wesentlicher Unterschied - erlaubt das Binomial einen Übungsfaktor. FASB nennt dies einen suboptimalen Übungsfaktor. Ein Ausübungsfaktor von beispielsweise 2x erlaubt es dem Modell, davon auszugehen, dass Mitarbeiter die Option ausüben werden, wenn der Aktienkurs auf den doppelten (2x) Ausübungspreis erhöht wird. Die Idee hinter diesem Faktor ist einfach, frühzeitige Ausübung von in-the-money Optionen unter günstigen Umständen zu antizipieren. Wenn der Ausübungsfaktor ausgelöst wird, wird davon ausgegangen, dass die Option ausgeübt wird, und der Binomialbaum stoppt grundsätzlich auf diesem Knoten. Sie können sehen, diese beiden Funktionen reduzieren den Wert der Option, alle anderen Dinge gleich. Der nicht angewendete Abschnitt des Modells begrenzt den Wert an jedem Knoten auf den diskontierten Wert der beiden zukünftigen Knoten (auch wenn der innere Wert größer ist und daher normalerweise verwendet wird). Der Übungsfaktor eliminiert zusätzlichen Wert, der der Option zufallen könnte, wenn er weiter auf der Aufwärtsbewegung fahren würde. Die neue Rechnungslegungsregel begünstigt das Binomial Die vorgeschlagene Rechnungslegungsvorschrift (geändert SFAS 123) begünstigt das Binomial zur Preisbildung von ESOs. Da Unternehmen vom Black-Scholes zum Binomial wechseln, gibt es vier wesentliche Unterschiede in den Bewertungsmethoden: Denken Sie daran, dass ESOs weit weniger liquide sind als gehandelte Optionen, da ein Mitarbeiter seine Option nicht an einer Börse verkaufen kann. Sie können sich daran erinnern, dass die Black-Scholes diese mit einer Band-Hilfe-Lösung behandelt: Unternehmen nutzen eine reduzierte erwartete Leben statt der vollen 10-Jahres-Begriff als Eingang in die Black-Scholes. Da das Binomialmodell bereits in diesen Illiquiditätsfaktoren durch die Vesting-Einschränkungen und frühen Trainingsannahmen aufgebaut wird, akzeptiert das Binomial den vollständigen 10-Jahres-Term als Eingabe. Praktische Implikationen Das Binomial enthält mehr Annahmen als die Black-Scholes. Einige haben argumentiert, dass das Binomial dramatisch niedrigere Kostenabschätzungen als die Black-Scholes produzieren wird, aber dies ist nicht unbedingt der Fall. Umschalten von Black-Scholes auf Binomial kann leicht erhöhen, pflegen oder verringern die Optionen Kosten. Sicherlich, wenn ein Unternehmen einen aggressiv niedrigen Ausübungsfaktor wie 1,25x setzt (was davon ausgehen würde, dass die Mitarbeiter ihre Optionen ausüben werden, wenn die Aktie 25 über dem Ausübungspreis liegt), dann wird das Binomial eine niedrigere Schätzung des Wertes produzieren. Wenn andererseits alle Eingaben unverändert sind und der Ausübungsfaktor hoch ist, kann der Optionswert unter dem Binomialwert ansteigen, da er den zusätzlichen Wert von amerikanischen ESOs beinhaltet, der frühzeitig ausgeübt werden kann. Natürlich kann ein Unternehmen auch versuchen, einen niedrigeren Wert zu erzielen, indem er die Eingaben optimiert, während er Modelle modifiziert. Zum Beispiel wird ein Umstieg von 40 Volatilitäten unter Black-Scholes auf einen Volatilitätsbereich von 20 bis 40 unter dem Binomial wahrscheinlich einen niedrigeren Optionswert erzeugen. Aber in diesem Beispiel ist die eigentliche Ursache für einen niedrigeren Wert nicht eine Veränderung der Optionen-Preismodelle, so viel wie eine Verringerung der durchschnittlichen Volatilität von 40-30. Im folgenden vergleichen wir den Black-Scholes-Wert mit dem Binomialwert für eine Option auf einer 100-Aktie. Weve verwendete die gleiche Volatilität für beide Modelle, so dass der primäre Bewertungsunterschied auf (1) der erwarteten Lebenserwartung reduziert wird, die in den Black-Scholes verwendet wird, verglichen mit (2) dem Ausübungsfaktor, der im Binomial verwendet wird. Andere Variablen sind natürlich wichtig, aber das ist der entscheidende Unterschied zwischen den Modellen, wenn dieselbe Volatilität verwendet wird. Sie können sehen, dass, wenn Sie alles zusammen setzen, das Binomial höher sein könnte, niedriger oder ähnlich den Black-Scholes. Zusammenfassung Dieser und der vorhergehende Abschnitt dieses Merkmals fassen zwei unterschiedliche Ansätze zur Schätzung des beizulegenden Zeitwerts einer ESO zum Zeitpunkt ihrer Gewährung zusammen. Nach den vorgeschlagenen Regeln ist dieser beizulegende Zeitwert als Aufwand für Gewinn - und Verlustrechnungen mit nach dem 15. Dezember 2004 beginnenden Geschäftsjahren zu erfassen. Wenn ein öffentlicher Markt oder ein Börsenhandel für ESOs vorliegt, könnte und würde die Gesellschaft Marktpreise verwenden. Das Binomialmodell stellt einen Versuch dar, den theoretisch korrekten fairen Wert eines ESO aufgrund seiner einzigartigen Eigenschaften feinabzustimmen. Allerdings ist es nur ein Versuch, den beizulegenden Zeitwert unter Berücksichtigung zukünftiger Unsicherheiten festzuhalten. Die letztendlich realisierten Kosten der Option hängen von der zukünftigen Aktienkurs-Trajektorie ab, die wahrscheinlich vom Fair Value abweichen wird. ESOs: Dilution - Teil 1ESOs: Verwendung des Black-Scholes-Modells Unternehmen müssen ein Optionspreismodell verwenden, um den Zeitwert ihrer Mitarbeiteroptionsoptionen (ESOs) zu bezahlen. Hier zeigen wir, wie Unternehmen diese Schätzungen nach den bis April 2004 geltenden Regeln darstellen. Eine Option hat einen Mindestwert Eine typische ESO hat einen Zeitwert, aber keinen intrinsischen Wert. Aber die Option ist mehr wert als nichts. Minimalwert ist der Mindestpreis, den jemand bereit wäre, für die Option zu zahlen. Es ist der Wert, der durch zwei vorgeschlagene Gesetzgebungen (die Enzi-Reid und Baker-Eshoo Kongressrechnungen) befürwortet wird. Es ist auch der Wert, den private Unternehmen nutzen können, um ihre Zuschüsse zu bewerten. Wenn Sie Null als Volatilitätseingang in das Black-Scholes-Modell verwenden, erhalten Sie den Minimalwert. Private Unternehmen können den Mindestwert verwenden, da ihnen eine Handelsgeschichte fehlt, was es schwierig macht, die Volatilität zu messen. Gesetzgeber wie der Mindestwert, weil sie die Volatilität - eine Quelle der großen Kontroversen - aus der Gleichung entfernt. Insbesondere die Hightech-Gemeinschaft versucht, die Black-Scholes zu untergraben, indem sie die Unzuverlässigkeit der Volatilität anstrebt. Leider entfernt die Beseitigung der Volatilität unfair Vergleiche, weil sie alle Risiken beseitigt. Zum Beispiel hat eine 50-Option auf Wal-Mart-Aktien denselben Mindestwert wie eine 50-Option auf einem High-Tech-Aktien. Der Mindestwert setzt voraus, dass der Bestand mindestens um den risikofreien Zinssatz wachsen muss (z. B. die Rendite von fünf oder zehn Jahren). Wir veranschaulichen die untenstehende Idee, indem wir eine 30 Option mit einem 10-jährigen und einem fünf risikolosen Zinssatz (und keine Dividenden) untersuchen: Sie sehen, dass das Minimalwertmodell drei Dinge macht: (1) Der risikolose Zinssatz für die volle Laufzeit, (2) eine Ausübung und (3) den zukünftigen Gewinn auf den Barwert mit demselben risikolosen Zinssatz diskontiert. Berechnung des Mindestwertes Wenn wir erwarten, dass eine Aktie mindestens eine risikofreie Rendite nach der Mindestwertmethode erzielt, reduzieren Dividenden den Wert der Option (da der Optionsinhaber auf Dividenden verzichtet). Setzen wir einen anderen Weg, wenn wir einen risikofreien Satz für die Gesamtrendite, aber einige der Rückkehr Lecks zu Dividenden übernehmen, wird die erwartete Preiserhöhung niedriger sein. Das Modell spiegelt diese niedrigere Wertschätzung durch eine Verringerung des Aktienkurses wider. In den beiden Exponaten unten bilden wir die Minimalwertformel. Die erste zeigt, wie wir einen Mindestwert für eine nicht dividendenberechtigte Aktie erreichen, die zweite ersetzt einen reduzierten Aktienkurs in die gleiche Gleichung, um die reduzierende Wirkung von Dividenden widerzuspiegeln. Hier ist die Mindestwertformel für eine dividendenberechtigte Aktie: s Aktienkurs e Eulers-Konstante (2.718) d Dividendenrendite t Optionsausdruck k Ausübungspreis r risikoloser Zinssatz Sorgen Sie sich nicht um die Konstante e (2.718) Nur einen Weg, um zusammen und Rabatt kontinuierlich anstelle der Compoundierung in jährlichen Abständen. Black-Scholes Mindestwertvolatilität Wir können die Black-Scholes als gleichwertig ansehen mit den Optionen Mindestwert plus Zusatzwert für die Optionsvolatilität: Je größer die Volatilität ist, desto größer ist der zusätzliche Wert. Graphisch können wir den Minimalwert als eine aufsteigende Funktion des Optionsausdrucks sehen. Volatilität ist ein Plus-up auf der Minimalwertlinie. Diejenigen, die mathematisch geneigt sind, bevorzugen es, die Black-Scholes zu verstehen, indem sie die von uns bereits genannte Minimalwertformel nehmen und zwei Flüchtigkeitsfaktoren (N1 und N2) addieren. Gemeinsam erhöhen diese den Wert je nach Volatilitätsgrad. Black-Scholes muss für ESO angepasst werden Black-Scholes schätzt den Fair Value einer Option. Es handelt sich um ein theoretisches Modell, das mehrere Annahmen einschließlich der vollständigen Handelsfähigkeit der Option (dh des Ausmaßes, in dem die Option an den Optionsinhabern ausgeübt oder verkauft werden kann), und eine konstante Volatilität während des gesamten Optionslebens umfasst. Wenn die Annahmen korrekt sind, ist das Modell ein mathematischer Beweis und seine Preisausgabe muss korrekt sein. Aber streng genommen sind die Annahmen wahrscheinlich nicht korrekt. Zum Beispiel braucht es Aktienkurse, um in einem Weg namens Brown'sche Bewegung zu bewegen - eine faszinierende Zufallswanderung, die tatsächlich in mikroskopischen Partikeln beobachtet wird. Viele Studien bestreiten, dass sich die Bestände nur auf diese Weise bewegen. Andere denken, Brown'sche Bewegung nähert sich eng genug, und betrachten die Black-Scholes eine ungenaue, aber nützliche Schätzung. Für kurzfristige gehandelte Optionen sind die Black-Scholes in vielen empirischen Tests äußerst erfolgreich gewesen, die die Preisentwicklung mit den beobachteten Marktpreisen vergleichen. Es gibt drei wesentliche Unterschiede zwischen ESOs und kurzfristigen gehandelten Optionen (die in der nachstehenden Tabelle zusammengefasst sind). In technischer Hinsicht verstößt jede dieser Unterschiede gegen eine Black-Scholes-Annahme - eine Tatsache, die durch die Rechnungslegungsvorschriften in FAS 123 in Betracht gezogen wird. Diese beinhalteten zwei Anpassungen oder Korrekturen an den Modellen natürliche Leistung, aber die dritte Differenz - dass die Volatilität nicht über die ungewöhnlich langen konstant bleiben kann Leben einer ESO - wurde nicht angesprochen. Hier sind die drei Unterschiede und die vorgeschlagenen Bewertungskorrekturen vorgeschlagen FAS 123, die noch gültig sind Stand März 2004. Die wichtigste Fix unter den aktuellen Regeln ist, dass Unternehmen können die erwartete Lebensdauer im Modell anstelle der tatsächlichen volle Laufzeit. Es ist typisch für ein Unternehmen, eine erwartete Lebensdauer von vier bis sechs Jahren verwenden, um Optionen mit 10-Jahres-Bedingungen zu bewerten. Das ist eine unangenehme Verlegenheit - eine Band-Hilfe, wirklich - seit Black-Scholes den eigentlichen Begriff verlangt. Aber FASB war auf der Suche nach einem quasi-objektiven Weg, den ESO-Wert zu reduzieren, da er nicht gehandelt wird (das heißt, den ESO-Wert für seinen Mangel an Liquidität zu reduzieren). Fazit - Praktische Effekte Der Black-Scholes ist empfindlich auf mehrere Variablen, aber wenn wir eine 10-jährige Option auf eine Dividendenausschüttung und eine risikofreie Rate von 5 annehmen, ergibt sich der Minimalwert (vorausgesetzt keine Volatilität) Des Aktienkurses. Wenn wir die erwartete Volatilität von z. B. 50 hinzufügen, verdoppelt sich der Optionswert in etwa auf fast 60 des Aktienkurses. Also, für diese besondere Option, Black-Scholes gibt uns 60 der Aktienkurs. Aber wenn es auf eine ESO angewendet wird, kann ein Unternehmen die tatsächlichen 10-Jahres-Term-Input auf eine kürzere erwartete Lebensdauer zu reduzieren. Für das obige Beispiel reduziert die Verringerung der 10-Jahres-Laufzeit auf eine Fünf-Jahres-erwartete Leben bringt den Wert auf etwa 45 der Nennwert (und eine Reduktion von mindestens 10-20 ist typisch, wenn die Reduzierung der Begriff auf die erwartete Lebensdauer). Schließlich bekommt das Unternehmen eine Friseuse Reduktion in Erwartung der Verfall aufgrund der Mitarbeiter Umsatz zu nehmen. In dieser Hinsicht wäre ein weiterer Haarschnitt von 5-15 üblich. So würden in unserem Beispiel die 45 weiter auf eine Aufwandsentschädigung von etwa 30-40 des Aktienkurses reduziert werden. Nach dem Hinzufügen von Volatilität und dann Subtraktion für einen reduzierten erwarteten Lebensdauer und erwarteten verwirkt, sind wir fast wieder auf den Mindestwert ESOs: Verwenden des Binomialmodells

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